Сопряжённые числа
Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями[1]. Например, сопряжёнными являются числа [math]\displaystyle{ 3+4i }[/math] и [math]\displaystyle{ 3-4i }[/math]. Число, сопряжённое к числу [math]\displaystyle{ z }[/math], обозначается [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math]. В общем случае, сопряжённым к числу [math]\displaystyle{ z=a+ib }[/math] (где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — действительные числа) является [math]\displaystyle{ \overline{z} = a - ib }[/math].
Например:
- [math]\displaystyle{ \overline{(3-2i)} = 3 + 2i }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{7}=7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{i} = -i. }[/math]
На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид [math]\displaystyle{ r e^{i \phi} }[/math] и [math]\displaystyle{ r e^{-i \phi} }[/math], что непосредственно следует из формулы Эйлера.
Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.
Свойства
Для произвольных комплексных чисел [math]\displaystyle{ z }[/math] и [math]\displaystyle{ w }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \overline{(z \plusmn w)} = \overline{z} \plusmn \overline{w} }[/math],
- [math]\displaystyle{ \overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z} = z \Leftrightarrow z }[/math] является действительным числом,
- [math]\displaystyle{ \overline{z^n} = \overline{z}^n }[/math] для всех целых [math]\displaystyle{ n }[/math],
- [math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math],
- [math]\displaystyle{ {\left| z \right|}^2 = z\overline{z} = \overline{z}z }[/math],
- [math]\displaystyle{ \overline{\overline{z}} = z }[/math] (то есть, сопряжение является инволюцией),
- [math]\displaystyle{ z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} }[/math], если [math]\displaystyle{ z }[/math] не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.
Если [math]\displaystyle{ \phi }[/math] является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены [math]\displaystyle{ \phi(z) }[/math], то:
- [math]\displaystyle{ \phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)} }[/math].
В частности:
- [math]\displaystyle{ \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} }[/math], если [math]\displaystyle{ z }[/math] не равно нулю.
- если [math]\displaystyle{ p }[/math] — полином с действительными коэффициентами и [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math], то также [math]\displaystyle{ p(\overline{z}) = 0 }[/math], то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.
Определение координат числа и сопряжения
Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:
- [math]\displaystyle{ x = \operatorname{Re}\,(z) = (z + \overline{z})/2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ y = \operatorname{Im}\,(z) = (z - \overline{z})/2i }[/math]
- [math]\displaystyle{ \rho = \left| z \right| = \sqrt {z \cdot \overline{z}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ e^{i\theta} = z/\left| z \right| = e^{i\arg z} = \sqrt {z/\overline{z}} }[/math] (если [math]\displaystyle{ z }[/math] не равно нулю).
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Complex Conjugates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.